求一个函数的反函数问题
求一个函数的反函数问题
一般有两种方法： 第一种方法：将自变量和因变量置换，然后求出类似于
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 的函数即可。 第二种方法：由
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 直接解出
x
=
f
−
1
(
y
)
x=f^{-1}(y)
x=f−1(y)，然后再置换自变量和因变量。
例一
求解
y
=
x
+
1
3
y = \sqrt[3]{x+1}
y=3x+1
的反函数。
解：
第一步：
y
=
x
+
1
3
y = \sqrt[3]{x+1}
y=3x+1
改写为
x
=
y
+
1
3
x = \sqrt[3]{y+1}
x=3y+1
第二步：解出，可得：
y
=
x
3
−
1
y=x^{3}-1
y=x3−1
例二
求解
y
=
1
+
ln
(
x
+
2
)
y = 1+\displaystyle \ln (x+2)
y=1+ln(x+2) 的反函数。
解：
第一步：
y
=
1
+
ln
(
x
+
2
)
y = 1+\displaystyle \ln (x+2)
y=1+ln(x+2) 改写为
x
=
1
+
ln
(
y
+
2
)
x = 1+\displaystyle \ln (y+2)
x=1+ln(y+2) 第二步：即由
x
=
1
+
ln
(
y
+
2
)
x = 1+\displaystyle \ln (y+2)
x=1+ln(y+2) 可得：
ln
(
y
+
2
)
=
x
−
1
(1)
\displaystyle \ln (y+2) = x-1 \tag{1}
ln(y+2)=x−1(1)
y
+
2
=
e
x
−
1
(2)
y+2 = e^{x-1} \tag{2}
y+2=ex−1(2)
y
=
e
x
−
1
−
2
(3)
y = e^{x-1}-2 \tag{3}
y=ex−1−2(3)
例三
求解
y
=
1
+
2
x
2
x
+
1
y = 1+\frac{2^{x}}{2^{x}+1}
y=1+2x+12x 的反函数。
解：
第一步：
y
=
1
+
2
x
2
x
+
1
y = 1+\frac{2^{x}}{2^{x}+1}
y=1+2x+12x 改写为
x
=
1
+
2
y
2
y
+
1
x = 1+\frac{2^{y}}{2^{y}+1}
x=1+2y+12y 第二步：即由
x
=
1
+
2
y
2
y
+
1
x = 1+\frac{2^{y}}{2^{y}+1}
x=1+2y+12y 可得：
2
y
x
+
x
=
2
y
(1)
2^{y}x+x = 2^{y} \tag{1}
2yx+x=2y(1)
2
y
(
x
−
1
)
=
−
x
(2)
2^{y}(x-1) = -x \tag{2}
2y(x−1)=−x(2)
2
y
=
x
(
1
−
x
)
(3)
2^{y} = \frac{x}{(1-x)} \tag{3}
2y=(1−x)x(3)
y
=
log
2
x
1
−
x
(4)
y=\log_{2}\frac{x}{1-x} \tag{4}
y=log21−xx(4)
例四
求解
y
=
f
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
y = f(x) = \displaystyle \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})
y=f(x)=ln(x+x2+1
) 的反函数
f
−
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f−1(x) 的表达式及其定义域。
解：
由对数的性质：
ln
a
b
=
ln
a
+
ln
b
\displaystyle \ln{ab} = \displaystyle \ln{a}+\displaystyle \ln{b}
lnab=lna+lnb
ln
a
b
=
ln
a
−
ln
b
\displaystyle \ln{\frac{a}{b}} = \displaystyle \ln{a}-\displaystyle \ln{b}
lnba=lna−lnb
ln
a
b
=
b
ln
a
\displaystyle \ln{a^{b}} = b\displaystyle \ln{a}
lnab=blna 对于题目待求式：
y
=
f
(
x
)
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
(1)
y = f(x) = \displaystyle \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})\tag{1}
y=f(x)=ln(x+x2+1
)(1) 两边同时加负号，可得：
−
y
=
−
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
-y = -\displaystyle \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})
−y=−ln(x+x2+1
)
−
y
=
ln
(
x
+
x
2
+
1
)
−
1
-y = \displaystyle \ln(x+\sqrt{x^{2}+1})^{-1}
−y=ln(x+x2+1
)−1
−
y
=
ln
1
x
+
x
2
+
1
-y = \displaystyle \ln\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}
−y=lnx+x2+1
1 右边式子分母分子同时乘于分母的共轭式：
x
−
x
2
+
1
x-\sqrt{x^{2}+1}
x−x2+1
，可得：
−
y
=
ln
x
−
x
2
+
1
(
x
+
x
2
+
1
)
(
x
−
x
2
+
1
)
-y = \displaystyle \ln\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{(x+\sqrt{x^{2}+1)(x-\sqrt{x^{2}+1})}}
−y=ln(x+x2+1)(x−x2+1
)
x−x2+1
−
y
=
ln
x
−
x
2
+
1
x
2
−
x
2
−
1
-y = \displaystyle \ln\frac{x-\sqrt{x^{2}+1}}{x^{2}-x^{2}-1}
−y=lnx2−x2−1x−x2+1
−
y
=
ln
(
x
2
+
1
−
x
)
-y = \displaystyle \ln({\sqrt{x^{2}+1}-x})
−y=ln(x2+1
−x)
e
−
y
=
x
2
+
1
−
x
(2)
e^{-y}= \sqrt{x^{2}+1}-x\tag{2}
e−y=x2+1
−x(2) 由(1)式两边取e可得：
e
y
=
x
2
+
1
+
x
(3)
e^{y}= \sqrt{x^{2}+1}+x\tag{3}
ey=x2+1
+x(3) (3)式减去(2)式可得：
e
y
−
e
−
y
=
2
x
e^{y}-e^{-y}=2x
ey−e−y=2x ，那么
x
=
1
2
(
e
y
−
e
−
y
)
x = \frac{1}{2}(e^{y}-e^{-y})
x=21(ey−e−y) 交换上式中的
x
，
y
x，y
x，y 的位置， 就是
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 的反函数， 即：
y
=
f
−
1
(
x
)
=
1
2
(
e
x
−
e
−
x
)
,
−
∞
<
x
<
∞
y=f^{-1}(x) =\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}),-∞ y=f−1(x)=21(ex−e−x),−∞ 例五 求解 y = 2 x + ∣ 2 − x ∣ y = 2x+|2-x| y=2x+∣2−x∣ 的反函数。 解： 第一步：先去掉绝对值，将方程改写为： { y = x + 2 , x ≤ 2 y = 3 x − 2 , x ＞ 2 \begin{cases} y = x + 2,x≤2 \\ y = 3x - 2,x＞2 \end{cases} {y=x+2,x≤2y=3x−2,x＞2 直接求解 x = f ( y ) x=f(y) x=f(y) 的方式，现在分两部分来求解： 对于 y = x + 2 , x ≤ 2 y = x + 2,x≤2 y=x+2,x≤2 ，我们可以写成 x = y − 2 , y ≤ 4 x=y-2,y≤4 x=y−2,y≤4 对于 y = 3 x − 2 , x ＞ 2 y = 3x - 2,x＞2 y=3x−2,x＞2 ，我们可以写成 x = y − 2 3 , y ＞ 4 x=\frac{y-2}{3},y＞4 x=3y−2,y＞4 综上所述，我们得出： { x = y − 2 , x ≤ 4 x = y − 2 3 , y ＞ 4 \begin{cases} x = y - 2,x≤4 \\ x=\frac{y-2}{3},y＞4 \end{cases} {x=y−2,x≤4x=3y−2,y＞4 我们将x和y互换得： { y = x − 2 , x ≤ 4 y = x − 2 3 , x ＞ 4 \begin{cases} y = x - 2,x≤4 \\ y=\frac{x-2}{3},x＞4 \end{cases} {y=x−2,x≤4y=3x−2,x＞4 所以， f ( x ) = 2 x + ∣ 2 − x ∣ 对应的反函数 f − 1 ( x ) = { y = x − 2 , x ≤ 4 y = x − 2 3 , x ＞ 4 f(x)=2x+|2-x|对应的反函数f^{-1}(x)=\begin{cases} y = x - 2,x≤4 \\ y=\frac{x-2}{3},x＞4 \end{cases} f(x)=2x+∣2−x∣对应的反函数f−1(x)={y=x−2,x≤4y=3x−2,x＞4 犯其至难，图其致远。 前路漫漫，行则必达！ 如有不足，恳请指正，欢迎在评论区留言。