单位矩阵
线性代数
A
=
[
1
2
3
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}
向量 · 向量空间 · 基底 · 行列式 · 矩阵
向量
标量 · 向量 · 向量空间 · 向量投影 · 外积（向量积 · 七维向量积） · 内积（数量积） · 二重向量
矩阵与行列式
矩阵 · 行列式 · 线性方程组 · 秩 · 核 · 迹 · 单位矩阵 · 初等矩阵 · 方块矩阵 · 分块矩阵 · 三角矩阵 · 非奇异方阵 · 转置矩阵 · 逆矩阵 · 对角矩阵 · 可对角化矩阵 · 对称矩阵 · 反对称矩阵 · 正交矩阵 · 幺正矩阵 · 埃尔米特矩阵 · 反埃尔米特矩阵 · 正规矩阵 · 伴随矩阵 · 余因子矩阵 · 共轭转置 · 正定矩阵 · 幂零矩阵 · 矩阵分解 （LU分解 · 奇异值分解 · QR分解 · 极分解 · 特征分解） · 子式和余子式 · 拉普拉斯展开 · 克罗内克积
线性空间与线性变换
线性空间 · 线性变换 · 线性子空间 · 线性生成空间 · 基 · 线性映射 · 线性投影 · 线性无关 · 线性组合 · 线性泛函 · 行空间与列空间 · 对偶空间 · 正交 · 特征向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化
查论编
此条目的主题是主对角线元素为1、其馀元素为0的矩阵。关于所有元素皆为1的矩阵，请见“一矩阵”。
在线性代数中，
n
{\displaystyle n}
阶单位矩阵，是一个
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
的方形矩阵，其主对角线元素为1，其馀元素为0。单位矩阵以
I
n
{\displaystyle I_{n}}
表示；如果阶数可忽略，或可由前后文确定的话，也可简记为
I
{\displaystyle I}
[注 1]（或者
E
{\displaystyle E}
）。
I
1
=
[
1
]
,
I
2
=
[
1
0
0
1
]
,
I
3
=
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
,
⋯
,
I
n
=
[
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
⋯
1
]
{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
一些数学书籍使用
U
{\displaystyle U}
和
E
{\displaystyle E}
（分别意为单位矩阵（unit matrix）和基本矩阵（Einheitsmatrix）），不过
I
{\displaystyle I}
更加普遍。
特别是单位矩阵作为所有
n
{\displaystyle n}
阶矩阵的环的单位，以及作为由所有
n
{\displaystyle n}
阶可逆矩阵构成的一般线性群
G
L
(
n
)
{\displaystyle GL(n)}
的单位元（单位矩阵明显可逆，单位矩阵乘自己，仍是单位矩阵）。
这些
n
{\displaystyle n}
阶矩阵经常表示来自
n
{\displaystyle n}
维向量空间自己的线性变换，
I
n
{\displaystyle I_{n}}
表示恒等函数，而不理会基。
有时使用这个记法简洁的描述对角线矩阵，写作：
I
n
=
diag
(
1
,
1
,
.
.
.
,
1
)
{\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,...,1)}
也可以克罗内克尔δ记法写作：
(
I
n
)
i
j
=
δ
i
j
{\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}}
性质[编辑]
根据矩阵乘法的定义，单位矩阵
I
n
{\displaystyle I_{n}}
的重要性质为：
A
I
n
=
A
{\displaystyle AI_{n}=A}
且
I
n
B
=
B
{\displaystyle I_{n}B=B}
单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。[1]具有重数
n
{\displaystyle n}
。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之等于迹数，单位矩阵的迹为
n
{\displaystyle n}
。
注释[编辑]
^ 在部分领域中，如量子力学，单位矩阵是以粗体字的1表示，否则无法与I作区别。
参考资料[编辑]
^ Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra 第四版. 2009: 283 [2014-11-24]. ISBN 0980232716. （原始内容存档于2014-11-23）.